Question

20．在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点．
（1）求证：CF∥平面A₁DE；
（2）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示．取A₁D的中点G，连接GF，GE，利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：$GF\underset{∥}{=}CE$．
四边形CEGF为平行四边形．即CF∥GE．利用线面平行的判定定理即可证明结论．
（2）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设平面A₁DE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（-2，1，2）．又$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2）是平面ADE的法向量，设二面角A-A₁D-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$．

解答 （1）证明：如图所示．取A₁D的中点G，连接GF，GE，则GF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁D₁，A₁D₁$\underset{∥}{=}$2CE，∴$GF\underset{∥}{=}CE$．
∴四边形CEGF为平行四边形．∴CF∥GE．
又CF?平面A₁DE，GE?平面A₁DE，
∴CF∥平面A₁DE．
（2）解：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），E（1，2，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
设平面A₁DE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（-2，1，2）．
又$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2）是平面ADE的法向量，设二面角A-A₁D-A的平面角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$．
∴二面角A-A₁D-A的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行的判定定理、法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．