Question

已知函数f（x）=（x+1）e^-x（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x，存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′(x)=-

x

ex

，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0．从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，则2[φ（x）]_min＜[φ（x）]_max．∴φ′(x)=

-x2+(1+t)x+t

ex

=-

(x-t)(x-1)

ex

，
分别讨论①当t≥1时，②当t≤0时，③当0＜t＜1时的情况，从而求出t的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f′(x)=-

x

ex

，
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，
则2[φ（x）]_min＜[φ（x）]_max．
∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=

x2+(1-t)x+1

ex

，
∴φ′（x）=

-[x2-(1+t)x+t]

ex

=-

(x-t)(x-1)

ex

，
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，
∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3-

e

2

＞1；
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，
∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0；
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，
即2

t+1

et

＜max{1，

3-t

e

}--（*）
由（Ⅰ）知，g(t)=2

t+1

et

在[0，1]上单调递减，
故

4

e

≤2

t+1

et

≤2，
而

2

e

≤

3-t

e

≤

3

e

，所以不等式（*）无解
综上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞)，使得命题成立．

点评：本题考察了函数的单调性，参数的求法，导数的应用，是一道综合题．