Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）．
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若a=

2

，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程．并求此时的S_ABCD．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．
（2）当a=

2

时，M（1，

2

）在圆x²+y²=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦，此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=

3

，从而可得，AC=2，即可求出此时的S_ABCD．

解答： 解：（1）由条件知点M在圆O上，
∴1+a²=4
∴a=±

3

当a=

3

时，点M为（1，

3

），k_OM=

3

，
此时切线方程为：y-

3

=-

3

3

（x-1）
即：x+

3

y-4=0；
当a=-

3

时，点M为（1，-

3

），k_OM=-

3

，
此时切线方程为：y+

3

=-

3

3

（x-1）
即：x-

3

y-4=0
∴所求的切线方程为：x+

3

y-4=0或即：x-

3

y-4=0
（2）当a=

2

时，M（1，

2

）在圆x²+y²=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦
此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=

3

，
从而可得，AC=2，∴S=

1

2

×2×4=4．

点评：本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x-a）（x₀-a）+（y-b）（y₀-b）=r²（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．