Question

20．已知f（x）=lgx，g（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，h（x）=f[g（x）]．
（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；
（2）若（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{4}}$）=$\frac{1}{2}$，求证：x+2y=0．

Answer 1

分析 （1）先求出$h（x）=lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$，容易得到h（-x）=-h（x），即得到h（x）为奇函数，可以求导数h′（x）＞0，从而得出h（x）为R上的增函数；
（2）由$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）（y+\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{4}}）=\frac{1}{2}$便可得到$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]=1$，两边取以10为底的对数，根据h（x）的解析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）为奇函数且为增函数便可得到x+2y=0．

解答 证明：（1）$h（x）=lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$；
$x+\sqrt{{x}^{2}+1}＞0$恒成立；
∴h（x）的定义域为R，且$h（-x）=lg（-x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=$lg\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}=-lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=-h（x）；
∴h（x）为R上的奇函数；
又$h′（x）=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）ln10}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}ln10}＞0$；
∴h（x）为R上的增函数；
（2）$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）（y+\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{4}}）$=$\frac{1}{2}（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]=\frac{1}{2}$；
∴$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]=1$；
∴$lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]$=$lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）+lg[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]$=h（x）+h（2y）=0；
∴h（x）=-h（2y）；
∵h（x）为R上的奇函数且是增函数；
∴h（x）=h（-2y）；
∴x=-2y；
∴x+2y=0．

点评 考查奇函数的定义，判断一个函数为奇函数的方法和过程，对数的运算性质，根据导数符号判断函数单调性的方法，注意正确求导．