Question

9．已知幂函数f（x）=x${\;}^{-{k}^{2}+k+2}$（k∈Z）满足f（2）＜f（3），若函数g（x）=1-q，f（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上是减函数，则非负实数q的取值范围是0≤q≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先表示出函数g（x）的表达式，结合函数的单调性通过讨论q的范围，从而得到答案．

解答 解：依题意可知，-k²+k+2＞0，解得：-1＜k＜2，
又k∈Z，所以k=0或1，则-k²+k+1=2，
所以：f（x）=x²．
g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，（q≥0），
当q=0时，g（x）=-x+1在[-1，2]单调递减成立；
当q＞0时，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1开口向下，对称轴右侧单调递减，
所以 $\frac{2q-1}{2q}$≤-1，解得0＜q≤$\frac{1}{4}$；
综上所述，0≤q≤$\frac{1}{4}$，
故答案为：0≤q≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数解析式的求法，考查函数的单调性问题，是一道基础题．