Question

7．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）设b_n=$\frac{a_n}{2^n}-\frac{1}{2}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式得到a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求出前n项和S_n．

解答 解：（1）由题设a_n+1=2a_n-n+1，得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），n∈N^*，
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知${a_n}-n={2^{n-1}}$，于是数列{a_n}的通项公式为 ${a_n}={2^{n-1}}+n$，
所以数列${b_n}=\frac{a_n}{2^n}-\frac{1}{2}=n{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
所以${S_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+（{n-1}）•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+n•\frac{1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{S_n}=1×\frac{1}{2^2}+2×\frac{1}{2^3}+3×\frac{1}{2^4}+…+（{n-1}）•\frac{1}{2^n}+n•\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
所以${S_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和通项公式的求法以及错位相减法求前n项和，属于中档题．