Question

3．设x₀是函数f（x）=2^x-|log₂x|-1的一个零点，若a＞x₀，则f（a）满足（　　）

• A． f（a）＞0
• B． f（a）＜0
• C． f（a）可以等于0
• D． f（a）的符号不能确定

Answer 1

分析 化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+lo{g}_{2}x-1，0＜x≤1}\\{{2}^{x}-lo{g}_{2}x-1，x＞1}\end{array}\right.$；从而可判断f（x）在（0，1]上是增函数；且当x＞1时，f（x）＞0恒成立；再由x₀是函数f（x）=2^x-|log₂x|-1的一个零点知x₀∈（0，1]；从而可得f（a）＞0．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+lo{g}_{2}x-1，0＜x≤1}\\{{2}^{x}-lo{g}_{2}x-1，x＞1}\end{array}\right.$；
则易知f（x）在（0，1]上是增函数；
当1＜x＜2时，
f（x）=2^x-1-log₂x＞1-log₂x＞0，
当x≥2时，
f′（x）=2^xln2-$\frac{1}{xln2}$在[2，+∞）上是增函数，
故f′（x）=2^xln2-$\frac{1}{xln2}$：≥f′（2）=4ln2-$\frac{1}{2ln2}$＞1；
故f（x）=2^x-1-log₂x≥f（2）=4-1-1=2＞0；
故当x＞1时，f（x）＞0恒成立；
又∵x₀是函数f（x）=2^x-|log₂x|-1的一个零点，
∴x₀∈（0，1]；
又∵a＞x₀，且f（x）在（0，1]上是增函数；
∴f（a）＞0；
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立的判断，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．