Question

已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.3）=-1．下列命题：
①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
②若{a_n}是等差数列，则{[a_n）}也是等差数列；
③若{a_n}是等比数列，则{[a_n）}也是等比数列；
④若x∈（1，2014），则方程[x）-x=

1

2

有2013个根．
其中正确的序号是

 

．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：根据定义一一加以判断：对①考虑当x为整数和不为整数；对②可取特殊数列比如整数等差数列和非整数等差数列加以检验；对③也取特殊数列验证；对④由定义通过列举即可．

解答： 解：对①，当x为整数时，[x）=x+1，即[x）-x=1，当x不为整数时，0＜[x）-x＜1，
所以函数f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①对；
对②，当数列{a_n}是整数构成的等差数列，则数列{[a_n）}也是等差数列；当{a_n}不是整数构成的等差数列，则数列{[a_n）}不是等差数列．
例如：数列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；
那么数列{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2显然不是等差数列．故②错；
对③，可取等比数列{a_n}：1，2，4，8，16；则数列{[a_n）}为：2，3，5，9，17显然不是等比数列，故③错；
对④，因为x∈（1，2014），方程[x）-x=

1

2

，所以x可取1.5，2.5，3.5，4.5，…，2013.5总共有2013个根，故④对．
故答案为：①④．

点评：本题是一道新定义题，解题关键是理解定义，从而掌握定义，对有些命题可通过取特殊情况加以判断，也可通过列举法一一举出来，注意不重不漏，本题是一道中档题．