Question

如图，在正四面体PABC中，若E，F分别是PC，AB的中点，则异面直线PF与BE所成的角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答： 解：由题意可得四面体P-ABC为正四面体，
如图，连接AE，取AE的中点K，连接FK，则FK∥BE
故∠PFK即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△PKF中，PF=

3

=BE，KF=

1

2

BE=

3

2

，KE=

3

2

，
∴PK=

7

2

． 
△PKF中，由余弦定理可得 cos∠PFK=

3+ 3 4 - 7 4

2• 3 • 3 2

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．