Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．
本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）求出每件产品的利润，乘以价格得到利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）求出利润函数的导函数，由a得范围得到导函数零点的范围，分类讨论原函数在[9，11]上的单调性，并求出a在不同范围内的利润函数的最值．

解答： 解：（1）每件产品的利润为：x-3-a元，
分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L=（x-3-a）（12-x）²，x∈[9，11]；
（2）L′（x）=（12-x）²-2（x-3-a）（12-x）
=（12-x）（18+2a-3x）．
令L′（x）=0，得x=6+

2

3

a或x=12（不合题意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+

2

3

a≤

28

3

．
在x=6+

2

3

a左右两侧，L′（x）的值由正变负．
∴当8≤6+

2

3

a＜9，即3≤a＜

9

2

时，
Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)．
当9≤6+

2

3

a≤

28

3

，即

9

2

≤a≤5时，
Lmax=L(6+

2

3

a)=(6+

2

3

a-3-a)[12-(6+

2

3

a)]2=4(3-

1

3

a)3，
∴Q(a)=

9(6-a)，3≤a＜ 9 2 4(3- 1 3 a)3， 9 2 ≤a≤5

．
答：若3≤a＜

9

2

，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若

9

2

≤a≤5，则当每件售价为(6+

2

3

a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3-

1

3

a)3（万元）．

点评：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．