Question

16．已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞]内递增，求实数a的取值范围；
（3）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义，建立方程，即可求实数a的值；
（2）函数的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，利用f（x）在[1，+∞]内递增，建立不等式，即可求实数a的取值范围；
（3）分类讨论求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴x²-ax+3=x²+ax+3，
∴a=0；
（2）函数的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
∵f（x）在[1，+∞]内递增，
∴-$\frac{a}{2}$≤1，
∴a≥-2；
（3）a≥-2时，f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（2）=7+2a；
a＜-2时，f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（0）=3．

点评 本题考查函数的性质，考查函数最大值的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．