Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1
（1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]求函数f（x）的值域．
（2）求方程f（x）=k，（0$≤k＜\sqrt{2}$），在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求函数的值域；
（2）由题意可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，讨论当0＜k＜$\sqrt{2}$时，当k=0时，结合函数的对称性和周期性，即可得到所求所求实根之和．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1=2cos²x+sin2x-1=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即有函数f（x）的值域为[-1，$\sqrt{2}$]；
（2）方程f（x）=k，（0$≤k＜\sqrt{2}$），
可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，
由y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的周期为π，
[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]为2个周期，
当0＜k＜$\sqrt{2}$时，即0＜$\frac{k}{\sqrt{2}}$＜1时，sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{k}{\sqrt{2}}$在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]内有4个交点，
即有4个不等实根，根据图象的对称性，可得x₁+x₂=$\frac{π}{4}$，x₃+x₄=$\frac{9π}{4}$，
所有实根的和为x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{5π}{2}$；
当k=0时，sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{15π}{8}$]内有5个交点，
所有实根的和为x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-$\frac{π}{8}$+$\frac{3π}{8}$+$\frac{7π}{8}$+$\frac{11π}{8}$+$\frac{15π}{8}$=$\frac{35π}{8}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的值域和对称性，考查向量数量积的坐标表示，以及分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．