Question

17．已知函数f（x）=（2$\sqrt{3}$sin$\frac{1}{2}$x-cos$\frac{1}{2}$x）cos$\frac{1}{2}$x+sin²$\frac{1}{2}$x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，b=$\sqrt{3}$，△ABC面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）推导出f（x）=$\sqrt{3}sinx$-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），由此能求出函数f（x）的值域．
（2）由f（B）=2，得到f（B）=2sin（B-$\frac{π}{6}$）=2，B∈（0，π），求出B=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理得：3=${a}^{2}+{c}^{2}-2accos\frac{2π}{2}$，由△ABC面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，得ac=1，由此能求出a+c．

解答 解：（1）∵f（x）=（2$\sqrt{3}$sin$\frac{1}{2}$x-cos$\frac{1}{2}$x）cos$\frac{1}{2}$x+sin²$\frac{1}{2}$x
=2$\sqrt{3}$sin$\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x$-cos²$\frac{1}{2}x$+sin²$\frac{1}{2}x$
=$\sqrt{3}sinx$-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈R，∴函数f（x）的值域为[-2，2]．
（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，
∴f（B）=2sin（B-$\frac{π}{6}$）=2，B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$，
∵b=$\sqrt{3}$，∴由余弦定理得：3=${a}^{2}+{c}^{2}-2accos\frac{2π}{2}$，
∵△ABC面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}ac×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得ac=1，
∴a²+c²=3+2accos$\frac{2π}{3}$=3-ac=2，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=2+2=4，
∴a+c=2．

点评 本题考查三角函数的值域的求法，考查三角形中两边和的求法，考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．