Question

4．已知直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数）
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C’，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，展开为：ρ$（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=$\sqrt{3}$，利用互化公式可得直角坐标方程，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数），利用平方关系消去参数φ可得普通方程
（2）由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入方程：x²+y²=4．可得方程．求出圆心（0，0）到直线l的距离，利用弦长公式即可得出直线l被曲线C截得的弦长．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，展开为：ρ$（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=$\sqrt{3}$，化为直角坐标方程：$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数），利用平方关系消去参数φ可得普通方程：x²+y²=4．
（2）由伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入方程：x²+y²=4．可得：（x′）²+4（y′）²=4，可得方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
直线l被曲线C截得的弦长=2$\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}）^{2}}$=2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．