Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）的图象离原点O最近的对称中心．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根据2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，故函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的图象，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故当k=0时，得到g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（$\frac{π}{12}$，0）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．