Question

12．已知函数$f（x）=Asin（2x+ϕ）（A＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）有最大值2．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）若$f（α+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}，α∈[0，\frac{π}{4}]$，求$f（α+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求f（x）的最小正周期，利用当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）有最大值2，求出解析式；
（2）若$f（α+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}，α∈[0，\frac{π}{4}]$，求出cos2α，即可求$f（α+\frac{π}{6}）$的值．

解答 解：（1）$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）有最大值2，又$A＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，∴A=2，
∴$2×\frac{π}{12}+ϕ=\frac{π}{2}$，即$ϕ=\frac{π}{3}$，所以f（x）的解析式为$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）∵$f（α+\frac{π}{3}）=2sin（2（α+\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}）=-2sin2α=-\frac{1}{2}$，∴$sin2α=\frac{1}{4}$，
∵$α∈[0，\frac{π}{4}]$，则$2α∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$cos2α=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$f（α+\frac{π}{6}）=2sin（2（α+\frac{π}{6}）+\frac{π}{3}）=2sin（2α+\frac{2π}{3}）$，
∴$f（α+\frac{π}{6}）=2sin2αcos\frac{2π}{3}+2cos2αsin\frac{2π}{3}=2×\frac{1}{4}×（-\frac{1}{2}）+2×\frac{{\sqrt{15}}}{4}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{5}-1}}{4}$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查诱导公式的运用，正确求出函数的解析式是关键．