Question

20．已知函数$g（x）=\frac{{{4^x}-a}}{2^x}$是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函数．
（1）求a和b的值．
（2）说明函数g（x）的单调性；若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设$h（x）=f（x）+\frac{1}{2}x$，若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数$g（x）=\frac{{{4^x}-a}}{2^x}$是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函数，可得g（0）=0，f（-1）=f（1），进而可得a和b的值．
（2）g（x）在（-∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．若g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，则3t²-2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t²-2t，求其最值，可得答案；
（3）h（x）=lg（10^x+1），若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，则$lg（10a+10）＜\frac{3}{2}=lg{10^{\frac{3}{2}}}={lg^{10\sqrt{10}}}$，解得答案．

解答 解：（1）由g（0）=0得，a=1，
则$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}$，
经检验g（x）是奇函数，
故a=1，
由f（-1）=f（1）得，则$f（x）=lg（{10^x}+1）-\frac{1}{2}x$，
故$b=-\frac{1}{2}$，
经检验f（x）是偶函数
∴a=1，$b=-\frac{1}{2}$…（4分） 
 （2）∵$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}={2^x}-\frac{1}{2^x}$，且g（x）在（-∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．
∴由g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，
得g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k），
∴t²-2t＞-2t²+k，t∈[0，+∞）恒成立
即3t²-2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立
令F（x）=3t²-2t，在[0，+∞）的最小值为$F（\frac{1}{3}）=-\frac{1}{3}$
∴$k＜-\frac{1}{3}$…（9分）
（3）h（x）=lg（10^x+1），
h（lg（10a+9））=lg[10^{lg（10a+9）}+1]=lg（10a+10）
则由已知得，存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，
而g（x）在（-∞，1]单增，
∴${g_{max}}（x）=g（1）=\frac{3}{2}$
∴$lg（10a+10）＜\frac{3}{2}=lg{10^{\frac{3}{2}}}={lg^{10\sqrt{10}}}$
∴$10a+10＜10\sqrt{10}$
又$a＜\sqrt{10}-1$
又∵$\left\{\begin{array}{l}10a+9＞0\\ 10a+10＞0\end{array}\right.$
∴$a＞-\frac{9}{10}$
∴$-\frac{9}{10}＜a＜\sqrt{10}-1$…（14分）

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，对数函数的图象和性质，难度中档．