Question

3．若函数f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1对于任意a∈[-1，1]，都有f（x）＜0，则实数x的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 把原函数整理成关于a的一次函数，利用一次函数的单调性求得函数在[-1，1]上的最大值，令最大值小于0，可得x的范围．

解答 解：函数可整理为f（x）=（x²-x+1）a+1-x
∵对于a∈[-1，1]时恒有f（x）＜0，
∴（x²-x+1）a+1-x＜0恒成立．
令g（a）=（x²-2x+1）a+1-x．
则函数g（a）在区间[-1，1]上的最大值小于0，
∵g（a）为一次函数，且一次项系数x²-2x+1＞0，
∴函数g（a）在区间[-1，1]上单调递增，
∴g（a）_max=g（1）=x²-2x+1+1-x=x²-3x+2＜0．
解得1＜x＜2．
故答案为：（1，2）．

点评 本题主要考查了利用函数的单调性求函数最大值．在把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中，体现了转化的思想．