Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$a=bcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinB$．
（1）求角B的值；
（2）若a+c=6，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求边b的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过正弦定理以及两角和的正弦函数求解得到sinC，然后求解B的正确函数值．
（2）利用三角形的面积求出ab的值，然后通过余弦定理，转化求解．

解答 解：（1）由$a=bcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$csinB及正弦定理得：$sinA=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$．…（1分）
∴$sin（{B+C}）=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$．…（2分）
∴$sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$．…（3分）
∴$cosBsinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$…（4分）
又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，
∴$tanB=\sqrt{3}$．…（5分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵△ABC面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{1}{2}ac•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，ac=6．…（9分）
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=36-18=18，
∴$b=3\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的面积以及三角形的解法，考查计算能力．