Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16
（1）若a=4，b=5，求cosC的值；
（2）若sinAcos²

B

2

+sinBcos2

A

2

=2sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理即可得出．
（2）利用倍角公式、诱导公式、三角形的内角和定理、正弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）由题意可知c=16-（a+b）=7，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

42+52-72

2×4×5

=-

1

5

．
（2）由sinAcos2

B

2

+sinBcos2

A

2

=2sinC，
可得sinA•

1+cosB

2

+sinB•

1+cosA

2

=2sinC，
化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinB•cosA=4sinC
∴sinA+sinB+sin（A+B）=4sinC，
sinA+sinB=3sinC，
即a+b=3c，
又a+b+c=16，
∴a+b=12．
由于S=

1

2

absinC=18sinC，
∴ab=36．
∴

ab=36 a+b=12

，
解得a=b=6．

点评：本题考查了倍角公式、诱导公式、三角形的内角和定理、正弦余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．