Question

是否存在常数a、b、c使等式1²＋2²＋3²＋…＋n²＋(n－1)²＋…＋2²＋1²＝an(bn²＋c)对于一切n∈N_＋都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

　假设存在a、b、c使1²＋2²＋3²＋…＋n²＋(n－1)²＋…＋2²＋1²＝an(bn²＋c)对于一切n∈N_＋都成立．

当n＝1时，a(b＋c)＝1；

当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；

当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.

解方程组

证明如下：

①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．

②假设n＝k(k∈N_＋)时等式成立，

即1²＋2²＋3²＋…＋k²＋(k－1)²＋…＋2²＋1²

＝k(2k²＋1)；

当n＝k＋1时，

1²＋2²＋3²＋…＋k²＋(k＋1)²＋k²＋(k－1)²＋…＋2²＋1²

＝k(2k²＋1)＋(k＋1)²＋k²

＝k(2k²＋3k＋1)＋(k＋1)²

＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)²

＝(k＋1)(2k²＋4k＋3)

＝(k＋1)[2(k＋1)²＋1]．

即n＝k＋1时，等式成立．

因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N_＋都成立．