Question

2．若函数$f（x）=\frac{1}{2}{e^x}$与g（x）的图象关于直线y=x对称，P，Q分别是f（x），g（x）上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． 1-1n2
• B． 1+1n2
• C． $\sqrt{2}（1-1n2）$
• D． $\sqrt{2}（1+1n2）$

Answer 1

分析 根据函数关于y=x，求出函数的反函数，利用曲线关于y=x对称的性质，只要求出P到直线y=x的距离的最小值即可得到结论．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$e^x关于直线y=x对称得g（x），
∴由y=$\frac{1}{2}$e^x，得e^x=2y，
即x=ln2y，
∴函数f（x）=$\frac{1}{2}$e^x的反函数为g（x）=ln2x，
则要使|PQ|取得最小值，
则只需f（x）上的点到直线y=x的距离最小即可，
如图所示：

y′=f′（x）=$\frac{1}{2}$e^x，
由y′=f′（x）=$\frac{1}{2}$e^x=1，
得e^x=2，解得x=ln2，即切点P的横坐标为ln2，此时y=$\frac{1}{2}$e^ln2=1，
即P（ln2，1），则P到直线y=x的距离d=$\frac{|ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（1-ln2）\sqrt{2}}{2}$，
∴|PQ|最小值=2d=$\sqrt{2}$（1-ln2），
故选：C．

点评 本题主要考查两点间距离的求法，利用函数y=x的对称性，利用导数求出最小值是解决本题的关键，综合性较强．