Question

2．已知函数$f（x）=\frac{x}{1+x}$，则$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2017}）$=$\frac{4033}{2}$．

Answer 1

分析 先求出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，由此能求出$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2017}）$的值．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{x}{1+x}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1+x}+\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x}{1+x}+\frac{1}{x+1}$=1，
∴$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2017}）$
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]×2016
=$\frac{1}{2}+$2016=$\frac{4033}{2}$．
故答案为：$\frac{4033}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．