Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，点（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C 上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）设点（2x，y）在C上，点（x，y） 的轨迹为曲线E，过原点作直线l与曲线E交于A，B两点，点D （-2，0），证明：$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$为定值，并求出定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦距为2$\sqrt{3}$，点（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C 上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）利用相关点法求出曲线E的方程为x²+y²=1．当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，求出$\overrightarrow{DA}$=（2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，-1），从而$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=3．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx，联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²=1，求出$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}+2$，$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$+2，-$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），由此能证明$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$为定值3．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，点（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C 上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}{=}{b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
证明：（Ⅱ）∵点（2x，y）在C上，点（x，y） 的轨迹为曲线E，
∴曲线E的方程为$\frac{（2x）^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，即x²+y²=1．
当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得A（0，1），B（0，-1），
∵D （-2，0），∴$\overrightarrow{DA}$=（2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=4-1=3．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²=1，
解得A（$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），B（-$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，-$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），
∵D （-2，0），∴$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}+2$，$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$+2，-$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=4-$\frac{1}{{k}^{2}+1}$-$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$=3．
综上，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$为定值3．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的乘积为定值的证明，考查椭圆、圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．