Question

1．若关于x的不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [0，1]
• C． $[{0，\frac{e}{2}}]$
• D． [0，e]

Answer 1

分析 依题意，分a=0，a＜0，a＞0三类讨论，将不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立转化为a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立（a＜0）或e^x-aex≥0在（0，+∞）上恒成立（a＞0），再分别构造函数，解之即可．

解答 解：∵不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴①当a=0时，（ax+1）（e^x-aex）=e^x＞0在（0，+∞）上恒成立；
②当a＜0时，e^x-aex＞0恒成立，故不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
?ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立?a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立．
∵y=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调递增，
∴当x→+∞时，y→0，
∴a≥0，又a＜0，∴a∈∅；
③当a＞0时，ax+1＞0恒成立，故不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
?e^x-aex≥0在（0，+∞）上恒成立?a≤$\frac{{e}^{x-1}}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
因此，a≤（$\frac{{e}^{x-1}}{x}$）_min，
令g（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$（x＞0），则g′（x）=$\frac{{xe}^{x-1}{-e}^{x-1}}{{x}^{2}}$=$\frac{{（x-1）e}^{x-1}}{{x}^{2}}$（x＞0），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在区间（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
∴当x=1时，g（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$（x＞0）取得极小值g（1）=1，也是最小值，
∴0＜a≤1，
综上所述，0≤a≤1，
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想及导数的综合运用，对a分a=0，a＜0，a＞0三类讨论是关键，属于难题．