Question

7．为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”，低于80分的同学为“空间想象能力正常”．
（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；

	空间想象能力突出	空间想象能力正常	合计
男生
女生
合计

（2）从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名，记其中成绩超过90分的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
下面公式及临界值表仅供参考：${X^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（X2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）2×2列联表如下，再利用X²计算公式可得结论．
（2）利用互斥事件、独立事件的概率计算公式可得ξ的分布列及其数学期望计算公式．

解答 解：（1）2×2列联表如下：

	空间想象能力突出	空间想象能力正常	合计
男生	7	13	20
女生	4	16	20
合计	11	29	40

由公式${X^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，计算得X²≈1.129，
因为X²＜2.706，所以没有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；
（2）$P（ξ=0）=\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{21}$，$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}+\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}=\frac{2}{7}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×$$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}+\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{19}{42}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2C_2^1}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{4}{21}$，$P（ξ=4）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{42}$，
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{19}{42}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{1}{42}$

数学期望是：$Eξ=0×\frac{1}{21}+1×\frac{2}{7}+2×\frac{19}{42}+$$3×\frac{4}{21}+4×\frac{1}{42}=\frac{13}{7}$．

点评 本题考查了独立性检验原理、互斥事件、独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．