Question

7．设a＞0，f（x）=$\frac{2x}{2+x}$，令a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值，并猜出数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₂，a₃，a₄．猜想数列{a_n}的通项公式
（2）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）由a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
因为a₁=1，所以a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，${a_3}=f（{a_2}）=\frac{1}{2}$，${a_4}=f（{a_3}）=\frac{2}{5}$，
猜想${a_n}=\frac{2}{n+1}（{n∈{N^*}}）$．
（2）证明：①易知，n=1时，猜想正确；
②假设n=k（k∈N^*）时，a_k=$\frac{2}{k+1}$成立，
则${a_{k+1}}=f（{a_k}）=\frac{{2×{a_k}}}{{2+{a_k}}}=\frac{2}{k+1+1}$这说明，n=k+1时成立．
由①②知，对于任何n∈N^*，都有${a_n}=\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．