Question

19．已知f（x）为定义在R行的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底数，则下面正确的是（　　）

• A． f（1）＞ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• B． f（1）＜ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• C． f（1）＞ef（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）
• D． f（1）＜ef（0），f（2016）＞e2⁰¹⁶f（0）

Answer 1

分析 根据选项的特点，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，对其进行求导，根据已知条件f（x）＜f′（x），可以判断g（x）的单调性，从而可判定选项的正确与否．

解答 解：f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴g（x）是R上的增函数，
∴g（1）＞g（0），g（2016）＞g（0），
即$\frac{f（1）}{e}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，$\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
则f（1）＞ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0），
故选：A．

点评 此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数g（x），是一道好题．另外我们的一般规律是看到f（x）＜f′（x）时，就应该想到构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$．