Question

4．已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，且a≠1）．若f（x）的图象如图所示，
（1）求a，b的值；
（2）记g（x）=f（x）-log_ax，判断g（x）在定义域内是否存在零点，若存在，请求出零点，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由图象得，点（1，0），（0，-1）在函数f（x）的图象上，代值计算即可，
（2）分别画出y=2^x-2，y=log₂x的图象，由图象可得函数的零点．

解答 解：（1）由图象得，点（1，0），（0，-1）在函数f（x）的图象上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{1+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}$
∴f（x）=2^x-2．
（2）g（x）=f（x）-log_ax=2^x-2-log₂x，其定义域为（0，+∞）
令g（x）=2^x-2-log₂x=0，
则2^x-2=log₂x，
分别画出y=2^x-2，y=log₂x的图象，如图所示，

由图象可得，y=2^x-2，y=log₂x的图象只有一个交点，即x=1，
故存在函数的零点，且零点为1

点评 本题考查了函数的零点存在定理和指数函数和对数函数的定义，属于中档题．