Question

12．若函数f（x）=x³-tx²+3x在区间[1，4]上单调递增，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{51}{8}]$
• B． （-∞，3]
• C． $[\frac{51}{8}，+∞）$
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）≥0即3x²-2tx+3≥0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．

解答 解：∵函数f（x）=x³-tx²+3x，
∴f′（x）=3x²-2tx+3，
若函数f（x）=x³-tx²+3x在区间[1，4]上单调递增，
则f′（x）≥0即3x²-2tx+3≥0在[1，4]上恒成立，
∴t≤$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，4]上恒成立，
令y=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，
当x=1时，函数取最小值3，
∴t≤3，
即实数t的取值范围是（-∞，3]，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．