Question

15．某地为增强居民的传统文化意识，活跃节日氛围，在元宵节举办了猜灯谜比赛，现从参加比赛的选手中随机抽取200名后按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取12名选手参加传统知识问答比赛，则应从第3，4，5组各抽取多少名选手？
（2）在（1）的条件下，该地决定在第4，5组的选手中随机抽取2名选手介绍比赛感想，求第5组至少有一名选手被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）第3组的人数为0.3×200=60，第4组的人数为0.2×200=40，第5组的人数为0.1×200=20，则第3，4，5组共有120名志愿者，所以利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数分别为第3组$\frac{60}{120}×12=6$；第4组$\frac{40}{120}×12=4$；第5组$\frac{20}{120}×12=2$，所以应从第3，4，5组中分别抽取6人，4人，2人．
（2）记第4组的4名志愿者为a，b，c，d，第5组的2名志愿者为A，B，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种，其中第5组的2名志愿者A，B中至少有一名志愿者被抽中的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9种，所以第5组至少有一名志愿者被抽中的概率为$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．