Question

18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a²=b²+c²+$\sqrt{3}$ab．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=$\sqrt{3}$，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a²=b²+c²+$\sqrt{3}$ab，即b²+c²-a²=-$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则A=$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{1}{2}$，
∴由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$，csinA=asinC，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{asinB}{sinA}$•asinC=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C），
∴当B-C=0，即B=C=$\frac{π-A}{2}$=$\frac{π}{12}$时，S+3cosBcosC取得最大值为3．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．