Question

若a₁，a₂，…，a_n是非零实数，且成等差数列，求证：

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：当公差d=0时，易证结论；当公差d≠0时，列项可得

1

an-1an

=

1

d

（

1

an-1

-

1

an

），结合等差数列的通项公式易证结论．

解答： 解：当公差d=0时，a_n=a₁，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=（n-1）

1

a12

=

n-1

a1an

；
当公差d≠0时，

1

an-1an

=

1

d

（

1

an-1

-

1

an

），
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=

1

d

（

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an-1

-

1

an

）
=

1

d

（

1

a1

-

1

an

）=

1

d

•

an-a1

a1an

=

1

d

•

(n-1)d

a1an

=

n-1

a1an

综上可得

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

．

点评：本题考查等差数列的性质，涉及裂项相消法和分类讨论的思想，属中档题．