Question

（本小题满分14分）定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数x₀都有f (x₀)= x₀，则称x₀是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)= ax²+(b+1)x+b-1 (a≠0).
（Ⅰ）当a =1，b= -2时，求函数f(x)的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y= f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，
且A、B两点关于直线y = kx+对称，求b的最小值.

Answer 1

【解】（Ⅰ）x²－x－3 = x，化简得：x²－2x－3 = 0，解得：x₁ =－1，或x₂ =3
所以所求的不动点为-1或3.………………………4分
（Ⅱ）令ax²+(b+1)x+b-1=x，则a x²+bx+b-1="0      " ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4 a (b-1)>0，
即b ²-4ab +4a>0恒成立，………………………………6分
则b ²-4ab +4a=(b-2a)²+4a-4a²>0，故4 a -4a ²>0，即0< a <1 ………………………8分
（Ⅲ）设A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)(x₁≠x₂)，则k_AB=1，∴k=﹣1，
所以y=-x+，……………………………………9分

∴  …………………………………………12分

∴当 a =∈(0，1)时，b_min=-1.………………………………14分

略