Question

在△ABC中，角A、B、C依次成等差数列，其对边依次分别为a，b，c．
（Ⅰ）若cos（B+C）=-

6

3

，求cosC的值；
（Ⅱ）若a=3，

AC

•

CB

=3，求b．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得B=60°，由cos（B+C）=-

6

3

，可得得sin（B+C）的值，而cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C） cosB+sin（B+C） sinB，代入数值计算可得；（2）由

AC

•

CB

=3可得abcosC=-3，结合a=3，可得bcosC=-1，①，再由正弦定理可得bsinC=4

3

，③，联立①③可解．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，因为角A、B、C依次成等差数列，∴2B=A+C
又∵A+B+C=180°，∴B=60°，
由cos（B+C）=-

6

3

，得sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

3

3

，
∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C） cosB+sin（B+C） sinB
=-

6

3

×

1

2

+

3

3

×

3

2

=

3- 6

6

．
（2）由

AC

•

CB

=3得|

AC

|||

CB

|cos（180°-C）=3，即abcosC=-3，
又a=3，∴bcosC=-1，①
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得

a

sin(120°-C)

=

b

sin60°

，
∴

3

bcosC+bsinC=3

3

，②
将①代入②得bsinC=4

3

，③
联立①③可解得b=7

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角形的正余弦定理，属中档题．