本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)利用函数y=
f(x)在定义域(—1+∞)内满足
f(o)=0,且f
/(x)=
,可以得到函数的解析式。
(2)根据a=1,分析
f(x)= ln(1+x)—x. (x>-1)
,求解导数,然后令导数大于零或者小于零得到单调区间,进而得结论。
(3)根据由(Ⅱ)知
f(x)≤
f(0)=0在(-1,+∞)内恒成立
∴ln (1+x) ≤x
∴e
x≥1+x
e
x-x≥1 ∴(e
x-x)
2≥1,从而证明不等式。
(Ⅰ)由
f/(x)=
.可得
f(x)=ln(1+x)—ax+b,b为实常数.又
f(0)=0
b=0.
f(x)=ln(1+x)—ax.
(Ⅱ)当a=1时,
f(x)= ln(1+x)—x. (x>-1)
f/(x)=
∵x>-1
由
f/(x)=0
x=0 ∴当x∈(-1,0]时
f/(x)≥0,此时
f(x)递增
当x∈(0,+∞)时,
f/(x)<0,此时
f(x)递减
即
f(x)在(-1,0)上单调增,在(0,+∞)上单调减…………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
f(x)≤
f(0)=0在(-1,+∞)内恒成立
∴ln (1+x) ≤x
∴e
x≥1+x
e
x-x≥1 ∴(e
x-x)
2≥1
∴≤
≤(e
x-P)
2+(P-x)
2即h(x)=(e
x-P)
2+(P-x)
2≥
…………………………12分