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(本小题满分12分)已知函数y=f(x)在定义域(—1+∞)内满足f(o)=0,且f(x)= ,(f(x))是f(x)的导数)
(Ⅰ)求f(x)的表达式.
(Ⅱ)当a=1时,讨论f(x)的单调性
(Ⅲ)设h(x)=(ex—P)2+(x-P)2,证明:h(x)≥
(Ⅰ)f(x)=ln(1+x)—ax.
(Ⅱ)f(x)在(-1,0)上单调增,在(0,+∞)上单调减;
(Ⅲ)h(x)=(ex-P)2+(P-x)2
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)利用函数y=f(x)在定义域(—1+∞)内满足f(o)=0,且f(x)= ,可以得到函数的解析式。
(2)根据a=1,分析f(x)= ln(1+x)—x.  (x>-1)
,求解导数,然后令导数大于零或者小于零得到单调区间,进而得结论。
(3)根据由(Ⅱ)知f(x)≤f(0)=0在(-1,+∞)内恒成立
∴ln (1+x) ≤x
∴ex≥1+x  ex-x≥1   ∴(ex-x)2≥1,从而证明不等式。
(Ⅰ)由f(x)=.可得f(x)=ln(1+x)—ax+b,b为实常数.又f(0)=0b=0.
f(x)=ln(1+x)—ax.
(Ⅱ)当a=1时,f(x)= ln(1+x)—x.  (x>-1)
f(x)=   ∵x>-1
f(x)=0x=0 ∴当x∈(-1,0]时f(x)≥0,此时f(x)递增
当x∈(0,+∞)时,f(x)<0,此时f(x)递减
f(x)在(-1,0)上单调增,在(0,+∞)上单调减…………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)≤f(0)=0在(-1,+∞)内恒成立
∴ln (1+x) ≤x
∴ex≥1+x  ex-x≥1   ∴(ex-x)2≥1
∴≤≤(ex-P)2+(P-x)2
即h(x)=(ex-P)2+(P-x)2…………………………12分
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.
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A.B.C.D.

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