Question

在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.
(1)求证：数列{a_n－n}是等比数列；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(3)求证：不等式S_n＋1≤4S_n对任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）见解析

(1)证明：由题设a_n＋1＝4a_n－3n＋1，得a_n＋1－(n＋1)＝4(a_n－n)，n∈N^*.又a₁－1＝1，所以数列{a_n－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解：由(1)可知a_n－n＝4^n－1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n＝4^n－1＋n，所以数列{a_n}的前n项和S_n＝.
(3)证明：对任意的n∈N^*，S_n＋1－4S_n＝＝－ (3n²＋n－4)≤0，所以不等式S_n＋1≤4S_n对任意n∈N^*皆成立．