Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；当x=$\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值-3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在同一周期内，
当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；当x=$\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值-3，故A=3，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2，再利用五点法作图可得2•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的减区间，属于基础题．