Question

16．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面CED与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE．又AE⊥DE，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明平面ACE⊥平面CDE；
（Ⅱ）以E为原点，以ED，EA，分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系．AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，取平面CDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），利用向量的夹角公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵CD⊥平面ADE，AE?平面ADE，∴CD⊥AE．
又AE⊥DE，CD∩DE=D，
∴AE⊥平面CDE，又AE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面CDE．
（Ⅱ）解：以E为原点，以ED，EA，分别为x轴，y轴，
建立空间直角坐标系．
AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
则E（0，0，0），B（0，3$\sqrt{3}$，2），C（3，0，6），
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，3$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{EC}$=（3，0，6），
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}y+2z=0}\\{3x+6z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（18，2$\sqrt{3}$，-9），
取平面CDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1{8}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}+{9}^{2}}×1}$=$\frac{2\sqrt{139}}{139}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、勾股定理、法向量的应用、向量的夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．