Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AD=DC=

3

，在线段A₁C₁上有一点Q，且C₁Q=

1

3

C₁A₁，求平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面A₁CD，平面QCD的法向量，利用空间向量的数量积，即可求得平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角．

解答： 解：建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，

3

，0），A₁（

3

，0，1），C₁（0，

3

，1）．
∵C₁Q=

1

3

C₁A₁，
∴Q（

3

3

，

2 3

3

，1）．
设平面A₁CD，平面QCD的一个法向量分别为

n

=（x₁，y₁，z₁），

m

=（x₂，y₂，z₂）
由

n • DC =0 n • DA1 =0

⇒

y1=0 3 x1+z1=0

令x₁=1，∴z₁=-

3

∴

n

=（1，0，-

3

）
由

m • DC =0 m • DQ =0

⇒

y2=0 3 3 x2+z2=0

令x₂=1，∴z₁=-

3

3

．
∴

m

=（1，0，-

3

3

），
cos＜

n

，

m

＞=

n•m

| n |•| m |

=

1+1

2× 2 3

=

3

2

，
∴＜

n

，

m

＞=

π

6

．
即平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角为

π

6

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间位置关系与距离，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．