Question

12．已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，且$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，
∴当n=1时，2a₁=2S₁=a₁²+a₁，且a_n＞0，
可得a₁=1，
∵2S_n=a_n²+a_n，
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
则{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
故a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N*；                  
（2）由b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
可得T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．