Question

已知圆C的方程是：x²+y²=4，P是圆C上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，M为PD的中点．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l与轨迹E交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知

m

=(x1，2y1)，

n

=(x2，2y2)，若

m

⊥

n

．试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：综合题

分析：（1）确定M，P坐标之间的关系，利用相关点法可求点M的轨迹方程；
（2）分斜率存在与不存在，同时借助于韦达定理，利用向量垂直，分别表示三角形的面积，即可求得结论．

解答： 解：（1）设M（x，y），则P（x，2y），代入圆C的方程是：x²+y²=4，可得：x²+4y²=4
即点M的轨迹方程为

x2

4

+y2=1…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，则由

m

⊥

n

可得x₁x₂+4y₁y₂=0
即x12-4

y

2 1

=0，而

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，由上两式可解得x1=±

2

，y1=±

2

2

，
此时S△AOB=

1

2

|x1|•|2y1|=

1

2

•

2

•2•

2

2

=1为定值；…（8分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y，并整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
则△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）=16（1+4k²-m²），
x1+x2=-

8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

，（Ⅰ）…（10分）
由

m

⊥

n

可得x₁x₂+4y₁y₂=0，即x₁x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0
所以(1+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
将（Ⅰ）代入得：(1+4k2)•

4m2-4

1+4k2

+4km•

-8km

1+4k2

+4m2=0，化简可得：1+4k²=2m²
由弦长公式可得|AB|=

1+k2

•

16(1+4k2-m2)

1+4k2

=

1+k2

•

16•m2

2m2

=

4• 1+k2 •|m|

2m2

由点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离为d=

|m|

1+k2

所以△AOB的面积S△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

4• 1+k2 •|m|

2m2

•

|m|

1+k2

=1为定值
综上知，△AOB的面积总为定值1．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．