Question

2．在△ABC中，∠ABC=$\frac{π}{3}$，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为$\frac{π}{3}$，则sinθ=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∠ADO=$\frac{π}{3}$，∠ABO=θ，由此能求出sinθ．

解答 解：过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，
则AD⊥BC，∴∠ADO平面ABC与平面α所成的二面角为，即∠ADO=$\frac{π}{3}$，
∠ABO是直线AB与平面α所成角，即∠ABO=θ，
设AO=$\sqrt{3}$，∵△ABC中，∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∴DO=1，OB=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{3}$，
∴sinθ=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{39}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．