Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}满足a₁=b₁=1，S₃=b₃+2，S₅=b₅-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果数列{b_n}为递增数列，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组，即可求出数列的通项；
（2）利用错位相减法，即可求数列{a_nb_n}的前n项和为S_n

解答 解：（1）∵等比数列{b_n}满足a₁=b₁=1，S₃=b₃+2，S₅=b₅-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（1+1+2d）}{2}={q}^{2}+2}\\{\frac{5（1+1+4d）}{2}={q}^{4}-1}\end{array}\right.$
解得q²=4，q²=$-\frac{2}{3}$（舍去）d=1，
q=±2，
当q=2时，a_n=1+n-1=n，b_n=2^n-1，
当q=-2时，a_n=1+n-1=n，b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^1-n
（2）∵数列{b_n}为递增数列，
∴b_n=2^n-1，a_n=n．
∴a_nb_n=n•2^n-1．
∵前n项和T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1．①
2T_n=1•2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②：-T_n=1+2ⁿ-1-n•2ⁿ=（2+2²+…+2^n-1）-n•2ⁿ．
T_n=1-2ⁿ+n•2ⁿ

点评 本题考查等差数列与等比数列的基本关系式，考查错位相减法的应用，考查计算能力，属于中档题，计算准确．