Question

【题目】已知双曲线的中心在原点，、为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；

（3）在（2）的条件下，若直线交双曲线于另一点，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）设双曲线标准方程为，根据可得，；将代入双曲线方程可求得，进而得到所求标准方程；

（2）根据在双曲线上可得，利用平面向量坐标运算可得，证得，从而证得结论；

（3）当时，得到直线方程，与双曲线方程联立求得点纵坐标，从而可求得三角形面积；根据双曲线对称性可知时结论相同.

（1）设双曲线标准方程为

双曲线焦距为，实轴长为，则，即

双曲线方程为

代入得： 双曲线的标准方程为

（2）由（1）知：，

在双曲线上 ，即

，

在以为直径的圆上

（3）由（2）知：或

当时，直线方程为：

即：

代入双曲线方程整理可得：

的纵坐标为 的纵坐标为

的面积为

由双曲线对称性可知，当时，面积与时一致

的面积