Question

设复数z=

1+i

1-i

（i为虚数单位），则

C

1 8

+

C

2 8

•z+

C

3 8

•z²+

C

4 8

•z³+

C

5 8

•z⁴+

C

6 8

•z⁵+

C

7 8

•z⁶+

C

8 8

•z⁷=

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,二项式系数的性质

专题：数系的扩充和复数,二项式定理

分析：首先化简z=i，然后观察多项式，如果加上

C

0 8

，各项乘以z后，恰好是二项式（1+z）⁸，所以原式=[（1+z）⁸-1]÷z，化简即可．

解答： 解：复数z=

1+i

1-i

=

(1+i)2

2

=i，
原式=（

C

1 8

z+

C

2 8

•z²+

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷+

C

8 8

•z⁸）÷z
=（

C

0 8

+

C

1 8

z+

C

2 8

•z²+

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷+

C

8 8

•z⁸-1）÷z
=[（1+z）⁸-1]÷z
={[（1+i）²]⁴-1}÷z
=15÷i
=-15i；
故答案为：-15i．

点评：本题考查了复数的乘除运算以及二项式定理的灵活运用．