Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的离心率为$\sqrt{5}$，则抛物线y²=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由双曲线的离心率求得$\frac{b}{a}$=2，即可求得双曲线的渐近线方程，由抛物线的焦点坐标，由点到直线的距离公式，即可求得抛物线y²=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离．

解答 解：由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即$\frac{b}{a}$=2，
则双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，即y=±2x，
抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
则F（1，0）到y±2x=0的距离d=$\frac{丨0±2×1丨}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴抛物线y²=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选C．

点评 本题考查双曲线简单几何性质，考查抛物线的焦点，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．