Question

关于x的不等式2a-sin²x-acosx＞2的解集为全体实数，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：不等式分离变量表示出a，变形后设t=2-cosx，利用基本不等式求出a的范围即可．

解答： 解：不等式2a-sin²x-acosx＞2，
变形得：2a-sin²x-acosx＞2，即（2-cosx）a＞2+sin²x，
解得：a＞

3-cos2x

2-cosx

=

4-cos2x-1

2-cosx

=2+cosx-

1

2-cosx

，
设2-cosx=t，即cosx=2-t，则有a＞4-t-

1

t

=4-（t+

1

t

），
根据基本不等式得：t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时取等号，
此时a＞2，
则实数a的范围是为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．