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已知f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上递减,若x∈[
1
2
,1]时,f(ax+1)≤f(x+2)恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.[-4,2]B.(-∞,2]C.[-4,+∞)D.[-4,-2]
因为f(x)是偶函数,故有f(x)=f(-x)=f(|x|)
所以f(ax+1)≤f(x+2)在 x∈[
1
2
,1]
上恒成立?f(|ax+1|)≤f(|x+2|)在 x∈[
1
2
,1]
上恒成立①;
又因为在[0,+∞)上是增函数,
故①式转化为|ax+1|≤|x+2|在 x∈[
1
2
,1]
上恒成立⇒(a2-1)x2+2(a-2)x-3≤0②;
x∈[
1
2
,1]
上恒成立.
a=1时,②转化为-2x-3≤0⇒x≥-
3
2
成立;
a=-1时,②转化为2x+1≥0⇒x≥-
1
2
成立;
|a|>1时,得a2-1>0,②转化为
(a2-1)×(
1
2
)
2
+2(a-2)×
1
2
-3≤0
(a2-1)×1+2(a-2)×1-3≤0

⇒-4≤a≤2(a≠±1).
综上得:实数a的取值范围为[-4,2].
故选A.
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4
3
)
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1
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