Question

6．设函数f（x）=|x-1|-|2x+6|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）?x∈R，f（x）≥|3m-2|，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，解不等式，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当x＜-3时，f（x）=-（x-1）+（2x+6）=x+7；
当-3≤x＜1时，f（x）=-（x-1）-（2x+6）=-3x-5；
当x≥1时，f（x）=（x-1）-（2x+6）=-x-7；
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+7，x＜3\\-3x-5，-3≤x＜1\\-x-7，x≥1.\end{array}\right.$，
当x＜3时，x+7≤1，所以x≤-6；
当-3≤x＜1时，-3x-5≤1，所以-2≤x＜1；
当x≥1时，-x-7≤1，所以x≥1，
综上所述，不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤-6或x≥-2}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）的最大值为4，
因为?x∈R，f（x）≥|3m-2|，所以|3m-2|≤4，所以-4≤3m-2≤4，
所以$-\frac{2}{3}≤m≤2$，
所以m的取值范围为$[{-\frac{2}{3}，2}]$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．